Analyse de l'écoulement
Ecoulement transitoire
L’analyse des écoulements transitoires dans un milieu partiellement saturé est guidée par la solution de l’équation générale de Richard (équation de continuité) :
où : | n | - | porosité du matériau |
| - | taux de variation du degré de saturation | |
Kr | - | coefficient de perméabilité relative | |
| - | matrice de perméabilité du sol complètement saturé | |
| - | gradient de hauteur totale |
La discrétisation temporelle de l’équation de Richard repose sur un schéma d’itération de Picard complètement explicite (cf. référence [1]). Ceci correspond à une formulation hybride assurant la conservation de la masse. Du fait que le problème est généralement non linéaire, l'analyse est effectuée de manière incrémentielle. Le schéma itératif standard de Newton-Raphson est utilisé pour satisfaire les conditions d'équilibre.
On note que le choix du modèle de matériau influe dans une large mesure sur la vitesse de convergence et la stabilité du processus itératif (méthode de calcul du coefficient de perméabilité relative Kr, du degré de saturation S et l'approximation du terme de capacité C = dS / dhp) en relation avec les propriétés non linéaires d'un sol donné. Un comportement significativement non linéaire est par exemple typique des sables où des conditions initiales mal déterminées peuvent causer des problèmes numériques. Les références [2,3] fournissent des détails complémentaires.
Ecoulement permanent
L'analyse en régime permanent suppose que le degré de saturation dans le temps ne varie pas. L'équation maîtresse se réduit alors à :
Contrairement aux écoulements transitoires, l'analyse est donc indépendante du temps et ne nécessite que l'introduction des conditions de l'écoulement aux limites. Cependant, il reste un problème généralement non linéaire (par exemple, une analyse des écoulements non confinés) nécessitant l’application du procédé itératif de Newton-Raphson. Les références [2,3] fournissent des détails complémentaires.
Littérature:
[1] M. A. Celia and E. T. Bouloutas, A general mass-conservative numerical solutionfor the unsaturated flow equation, Water Resources Research 26 (1990), no. 7, 1483-1496.
[2] M. Šejnoha, Finite element analysis in geotechnical design, to appear (2015).
[3] M. Šejnoha, T. Janda, H. Pruška, M. Brouček, Metoda konečných prvků v geomechanice: Teoretické základy a inženýrské aplikace, předpokládaný rok vydání (2015).