Hardening soil

Le modèle Hardening soil (aussi appelé modèle de sol durcissant) introduit par Schanz et al. [1] convient à la modélisation d'un large groupe de sols mous. Le modèle combine deux mécanismes de durcissement. Le mécanisme de durcissement par cisaillement entraîne l'évolution des déformations plastiques causées par les composantes déviatoriques de la contrainte, tandis que le mécanisme de compression devient actif dans le mode de chargement compressif, par exemple par un œdomètre ou en compression isotrope. Le mécanisme de durcissement par cisaillement se manifeste par une évolution progressive de la surface de charge en cisaillement f_s^HS en fonction de la valeur actuelle de la déformation plastique déviatorique équivalente κ_s (ou γ^ps).

Ce processus de durcissement (expansion de la surface de charge) s'accompagne de l'évolution de l'angle de frottement interne mobilisé φ_m et se termine par l'atteinte de la surface limite de charge en cisaillement f_s^MN. Dans le programme GEO5 MEF, cette fonction d'écoulement plastique est présentée sous la forme d'un critère de rupture de Matsuoka-Nakai, fonction des valeurs maximales des paramètres de résistance au cisaillement, de la cohésion c et de l'angle de frottement interne φ. La projection de la surface de charge dans le plan déviatorique est donc une courbe convexe lisse passant par tous les sommets du modèle de Mohr-Coulomb. La conséquence du durcissement compressif est une évolution de la surface de charge en compression f_c^HS en fonction de l'évolution de la pression de préconsolidation p_c. Une formulation similaire développée en termes de mesures de contraintes invariantes a également été présentée dans [2].

Une représentation graphique des deux surfaces de charge est présentée dans la figure suivante. Une évolution graduelle de la surface de charge en cisaillement, révélée par la projection de la surface de charge dans le plan méridien, est présentée à titre d'illustration. Le modèle de Soft soil est défini de manière similaire, mais il ne met en œuvre que la surface limite de charge en cisaillement. Le durcissement est donc limité par le seuil de compression.

a) surface de charge dans l'espace des contraintes principales, b) projection dans le plan déviatorique c) dans le plan mériden

La formulation de la surface de charge en cisaillement repose sur l'hypothèse que la relation entre la contrainte déviatorique q et la déformation verticale ε₃ pendant l'essai triaxial drainé peut être décrite par une fonction hyperbolique. Le diagramme contrainte-déformation correspondant est illustré dans la figure suivante, où q_a est la valeur asymptotique de q et q_f^MC correspond à la valeur de q lorsqu'on atteint la surface limite, auquel cas q_f = R_fq_a, où R_f est le coefficient de réduction. De plus amples détails peuvent être trouvés dans le manuel théorique.

Loi hyperbolique de contrainte-déformation

Les paramètres définissant le modèle de matériau Hardening soil sont résumés dans le tableau suivant :

Le module d'élasticité sécant E_i^p,ref peut être approché à l'aide du module d'élasticité E₅₀^p,ref comme suit :

où l'indice (p,ref) représente une valeur de référence du module correspondant à une certaine valeur de référence de la contrainte moyenne effective σ_m^ref. En général, le modèle suppose une évolution du module d'élasticité en fonction de la contrainte moyenne actuelle sous la forme suivante

Il convient de souligner que cette formulation diffère de celle utilisée par exemple dans les publications [1] et [2], où l'évolution de la rigidité dépend de la contrainte principale minimale, ici σ₁. Il convient d'en tenir compte lors de l'adoption de paramètres calibrés pour un autre logiciel d'ingénierie dans le programme GEO5 MEF. Une option possible est d'utiliser un ensemble modifié de paramètres qui donne une correspondance raisonnable entre les simulations fournies par les différents logiciels. À cette fin, une simple régression linéaire semble suffisante pour ajuster les paramètres E_ur^p,ref et m_p. Un exemple illustrant cette approche particulière est présenté dans la figure suivante.

Détermination de la dépendance du module de déchargement/rechargement E_ur à la contrainte moyenne σ_m à l'aide d'une régression linéaire

Les paramètres modifiés E₅₀^p,ref(E_i^p,ref) et R_f peuvent être obtenus ultérieurement dans le cadre d'une étape d'optimisation en comparant les simulations numériques d'un essai de compression triaxiale tout en exploitant les paramètres E_ur^p,ref et m_p déjà déterminés.

Les détails peuvent être trouvés dans le manuel théorique. Cependant, il est fortement recommandé de calibrer les paramètres spécifiques du modèle, liés à une mise en œuvre particulière, à partir des mesures de laboratoire fournies, en utilisant par exemple le logiciel de calibrage ExCalibre.

La limite en compression f_c^HS est caractérisé par le paramètre M qui détermine sa forme et par le module de durcissement H qui fournit l'incrément de pression de préconsolidation Δp_c en termes d'incrément de déformation plastique volumétrique Δε_v^pl. Le module d'écrouissage H est donné par :

où K_c et K_s sont respectivement les modules d'élasticité isostatique au chargement primaire et au déchargement. De plus amples détails sont disponibles dans le manuel théorique. Les paramètres M et H peuvent être saisis directement ou déterminés automatiquement sur la base des valeurs du coefficient de pression latérale des terres au repos pour les sols normalement consolidés K₀^NC et du module œdométrique E_oed^ref. Pour ce faire, on utilise l'optimisation numérique d'un essai œdométrique en laboratoire. L'objectif est de déterminer les paramètres M et H du modèle de manière à ce que le module œdométrique prévu numériquement corresponde à celui spécifié pour une valeur donnée de K₀^NC, comme le montre la figure suivante. La contrainte moyenne σ_m^* et la contrainte déviatorique équivalente J_* sont données par :

De plus amples informations sont disponibles dans le manuel théorique.

a) représentation graphique du module œdométrique de référence E_oed^ref en un point de σ_oed^ref spécifié, b) contrainte actuelle à la fin de l'étape d'optimisation associée à σ_oed^ref

Le modèle Hardening soil permet de modéliser la dilatation du sol (évolution des déformations plastiques volumétriques positives pendant le cisaillement plastique) en introduisant l'angle de dilatance ψ. L'évolution des déformations plastiques est pilotée par le potentiel plastique g_s^HS. La définition du potentiel plastique est essentiellement identique à celle adoptée pour le modèle de Drucker-Prager. La seule différence réside dans la définition de la pente du potentiel plastique M_ψ qui dépend maintenant de la valeur courante de l'angle de frottement interne mobilisé ψ_m. L'équation d'évolution correspondante repose, de manière similaire au modèle de Mohr-Coulomb modifié, sur la théorie de la dilatation de Rowe

où φ, φ_m, φ_cs et ψ sont l'angle maximal de frottement interne, l'angle de frottement interne mobilisé, l'angle de frottement à l'état critique et l'angle de dilatance maximal. La représentation graphique de l'évolution de ψ_m est illustrée sur la figure suivante. Elle illustre également une coupure potentielle de la dilatance en introduisant l'indice des vides maximal e_max, pour lequel on s'attend à ce que l'état critique ψ_m = 0 soit atteint.

Théorie de la dilatation de Rowe : a) représentation graphique de l'évolution de l'angle de dilatance mobilisé ψ_m, b) seuil de dilatance.

Rappelons que l'évolution de la rigidité dépend de la valeur courante de la contrainte effective moyenne σ_m. Ceci est étroitement lié à la sélection du pas de charge initial, qui exige que les valeurs très faibles de la contrainte initiale soient suffisamment petites. Pour accélérer la convergence, il semble utile d'exploiter le nombre minimum d'itérations pour un seul pas de charge. L'influence de l'ampleur du pas de charge initial sur l'évolution de la contrainte et de la déformation est décrite en détail ici.

Une étape importante pour une analyse réussie est associée à la définition des valeurs initiales de la contrainte de préconsolidation p_cⁱⁿ et de la déformation plastique équivalente κ_sⁱⁿ. Les deux paramètres sont fixés en fonction de l'état de contrainte actuel au moment où le modèle de sol durcissant est introduit dans l'analyse, de sorte que l'état de contrainte actuel satisfasse à la fois les fonctions d'écoulement plastique en cisaillement et en compression. Les détails sont fournis ici. Il est également possible de consulter la description fournie pour le modèle Cam-Clay modifié.

Le modèle permet d'ajuster la valeur initiale de la pression de préconsolidation en fonction du degré de préconsolidation attendu en utilisant les paramètres et . Les détails peuvent être trouvés ici. Il convient de noter que cette option n'est disponible que lors de la définition de la contrainte géostatique initiale à l'aide de la procédure K₀.

Si les conditions non drainées sont requises dans l'analyse, on peut continuer avec le Type (1) : analyse en contrainte effective (c_ef, φ_e) uniquement.

Le modèle Hardening soil permet également d'effectuer l'analyse de stabilité. Cependant, cette option n'est disponible que lors de l'exécution de l'analyse de stabilité dans une phase de construction donnée. Dans ce cas, le plafond de compression est désactivé, tout comme l'évolution de l'angle de frottement mobilisé. Par conséquent, seule la surface de charge f_s^MN peut devenir active. La tâche est résolue en réduisant progressivement les paramètres de résistance au cisaillement maximale c et φ de la même manière que pour le modèle de Drucker-Prager.

Les performances du modèle dans le cadre d'essais simples en laboratoire sont examinées ici, y compris l'influence de l'ampleur de l'étape de charge initiale.

A moins qu'il n'y ait des preuves expérimentales claires pour des valeurs différentes, les paramètres du modèle Hardening soil doivent être compris dans les plages recommandées énumérées dans le tableau suivant :

L'implémentation du modèle de matériau de sol durcissant dans le programme GEO5 MEF est décrite en détail dans le manuel théorique.

Littérature:

[1] T. Schanz, P.A. Vermeer, P.G. Bonnier, The hardening soil model: Formulation and verification, Beyond 2000 in Computational Geotechnics, Balkema, Rotterdam. 1999

[2] T. Benz, Small-Strain Stiffness of Soils and its Numerical Consequences, PhD thesis, University of Stuttgart, 2007